Persamaan kuadrat

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat itu adalah persamaan yang memiliki variabel yang berpangkat dua. Biasanya yang berpangkat dua itu adalah x. Sehingga bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

ax² + bx +c =0

dengan syarat: a tidak sama dengan nol, dan a, b, dan c adalah elemen himpunan bilangan Real.

Kenapa disebut persamaan, karena ada tanda sama dengan '=' itu. Jadi kalau tandanya tidak '=' seperti tanda 'kurang dari' < atau 'lebih dari' >, itu akan disebut sebagai pertidaksamaan.

Persamaan kuadrat itu memiliki penyelesaian yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat, yang biasanya ada dua yaitu x₁ dan x₂. Disebut penyelesaian karena jika nilai dari salah satu penyelesaian itu dimasukkan pada variabel x pada persamaan akan menghasilkan nilai nol. Sehingga akar-akar persamaan kuadrat juga disebut faktor pembuat nol.

Adapun cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat ada tiga, yaitu :

1. Memfaktorkan
• cara I
• cara II
• cara III
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
3. Menggunakan Rumus ABC

Yang kalau diringkas bisa disebut 3M. Wah seperti memberantas sarang nyamuk saja, hehe. Yuk sekarang coba kita bahas satu persatu.

• Memfaktorkan

Cara yang pertama ini paling tepat digunakan jika nilai a pada variabel x² dari persamaan ax² + bx + c = 0 adalah 1 (satu). Atau secara lebih mudah yaitu x² didepannya tidak mengandung angka lain selain variabel x itu sendiri. Contoh persamaan kuadratnya :

1. x² - 8x + 15 = 0
2. x² - x - 12 = 0
3. x² + 8x + 12 = 0
4. x² - 8x + 16 = 0
5. x² - 9 = 0

Adapun langkah-langkah untuk mencari akar-akar persamaan kuadratnya adalah sebagai berikut, dimana contoh yang kita pakai adalah persamaan kuadrat yang no. 1 yakni x² - 8x + 15 = 0. (langkah 1) : Tulis persamaan kuadrat itu, seperti berikut ini : x² - 8x + 15 = 0 (langkah 2) : Tulis dibawahnya dua buah tanda kurung, dengan masing-masing diisi variabel x seperti berikut : (x )(x ) = 0 (langkah 3) : Pikirkan dua buah angka, yang jika dikalikan hasilnya adalah 15, dan jika dua angka itu dijumlahkan hasilnya -8 (negatif 8). Maka tentunya kita akan memikirkan 1 dan 15, atau 3 dan 5, karena hanya dua pasangan bilangan itu yang jika dikalikan menghasilkan 15. Terus agar hasil kalinya positif 15 dan hasil penjumlahan -8, maka yang paling tepat adalah -3 dan -5. Coba kita jumlahkan -3 dan -5 yaitu -3 + (-5) = -8. Betulkan hasilnya -8. Kalau sampai disini masih bingung, kenapa jika dikali hasilnya harus 15? Lihat kembali persamaan kuadratnya yaitu x² - 8x + 15 = 0. Jadi jika dikali harus menghasilkan c yaitu 15, dan jika dijumlah harus menghasilkan koefisien x, yaitu b. Yang mana b, yang mana c? Kita lihat lagi bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax² + bx + c = 0. Jadi c adalah bilangan konstanta-nya (yang tidak berisi variabel x), dan b adalah koefisien dari variabel x yang berpangkat satu(x tanpa pangkat), dan koefisien dari variabel x yang berpangkat 2 atau x² adalah a, dalam hal ini nilai a = 1. Jadi angka 1 tidak usah ditulis ya didepan x² seperti aturan yang sudah biasa. (langkah 4) : Masukkan kedua angka itu ke dalam masing-masing tanda kurung, lengkap dengan tanda negatif atau positifnya, seperti berikut ini : (x - 3)(x - 5) = 0 (langkah 5) : Samakan masing-masing setiap suku dalam tanda kurung dengan 0 (nol), seperti berikut ini : (x - 3) = 0 x - 3 = 0 x = 3 (tanda negatif pada 3 hilang karena pindah ruas) Sebenarnya ada teori mendasar mengenai kenapa kalau pindah ruas bisa berubah tanda, dan itu akan saya jelaskan pada posting khusus, agar kita bisa lebih konsentrasi pada materi ini. Jadi kita dapatkan nilai x₁ = 3. Selanjutkan kita samakan lagi suku yang lagi satu dengan nol, yaitu : (x - 5) = 0 x - 5 = 0 x = 5 Jadi kita dapatkan x₂ = 5. Jadi adapun akar-akar persamaan kuadrat x² - 8x + 15 = 0 adalah x₁ = 3 dan x₂ = 5, atau bisa juga disebut sebagai himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x² - 8x + 15 = 0 adalah HP = {3, 5}. Nah, gampang sekali bukan untuk memahami cara yang pertama. Selanjutnya untuk lebih memantapkan bisa dicoba contoh persamaan kuadrat di atas yang nomor 2 sampai nomor 5.

•  Memakai Rumus Kuadrat atau Rumus abc

 

dimana b² – 4ac disebut dengan Diskriminan ( D ). jadi D = b² – 4ac. Rumus inilah yang kita gunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

Contoh Soal :
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat 2x² + 3x -9 = 0, ( a=2| b=3| c=-9 )!

• Melengkapkan Kuadrat Sempurna

 Bentuk umum persamaan kuadrat bebentuk kuadrat sempurna adalah :
dengan q > 0
Penyelesaian dengan cara ini cukup rumit jadi hati-hatilah dalam penyelesaiannya. Dengan metode ini kita akan mengubah bentuk ax² – bx – c = 0 menjadi (x + p)² = q sehingga penyelesaiannya x = -p ± √q . Langkah pertama, ubah menjadi bentuk kemudian menambahkan kedua ruas denganhal ini akan menjadikannya kuadrat sempurna.

Contoh Soal :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 13 = 6x